Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    Kugel [Satz von Liebmann1], von konstanter negativer Krüm¬ mung keinen [Satz von Hilbert2]. Übrigens kann man die Geometrie auf der Clifford sehen Fläche in der euklidischen Ebene durch bestimmte Verabre¬ dung oder Festsetzung auch realisieren: Schneidet man die Clifford sehe Fläche längs zweier Erzeugenden auf, die den beiden verschiedenen Scharen von Parallelen auf ihr angehören, so entsteht ein Viereck mit zwei Paaren von gleichen Gegen¬ seiten, und dieses Viereck läßt sich völlig zur Deckung bringen mit einem euklidischen Rhombus. Verabredet man also, daß in einem Rhombus die je zwei Punkte, in denen ein Paar von Gegenseiten durch eine Parallele zu den beiden anderen Seiten geschnitten wird, als einen einzigen Punkt zu rechnen, so ist die Geometrie des Rhombus unbeschränkt identisch mit der der Cliffordschen Fläche. Die Untersuchungen von Riemann, Helmholtz und Lie. § g i. Mit den Ausführungen über elliptische Geometrie [§ 81—82 und § 88—89] haben wir der Zeit vorgegriffen. Sie wurde in den Untersuchungen der Klassiker eigentlich beiseite geschoben, weil man die Hypothese der unendlichen Geraden nicht fallen lassen wollte. Erst B. Riemann hat sich davon ganz befreit in seinem berühmten Habilitationsvortrag ven 1854: ,,Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“.3 Daselbst findet sich in III, 2 [2. Auflage 1 Gött. Nachr. 1899, S. 44—55. s Über Flächen konstanter Gaußscher Krümmung. Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901), p. 86—99. — Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. Anhang V, S. 237—255. ^ fc3 Riemanns Werke, 1. Aufl. 1876, S. 254—269; 2. Aufl. 1892, S. 272—287. Sie wurde 1854 von Riemann verlesen bei seiner Habi¬ litation in der philosophischen Fakultät in Göttingen, vor einem nicht nur