Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    sobald dieses Kriimmungsmaß einen noch so kleinen positiven Wert hätte.“1 Noch bekannter ist eine Andeutung Riemanns geworden, die wir hier anführen, weil sie in Zusammenhang mit der mo¬ dernen allgemeinen Relativitätstheorie gebracht worden ist: „Solche Untersuchungen, welche, wie die hier geführte, von allgemeinen Begriffen ausgehen, können nur dann dazu dienen, daß diese Arbeit [die Umarbeitung der überkommenen räum¬ lich-mechanischen Vorstellungen] nicht durch die Be¬ schränktheit der Begriffe gehindert und der Fortschritt im Er¬ kennen des Zusammenhangs der Dinge nicht durch überlieferte Vorurteile gehemmt wird. Es führt das hinüber in das Gebiet einer andern Wissen¬ schaft, der Physik . . .“2 § 92. Das Riemann-Helmholtzsche Problem, Diese allgemeinen Untersuchungen von Riemann und ihr Verhältnis zu den weiteren von Helmholtz [1821 —1894] hat Lie mit folgenden Worten charakterisiert::i „Riemann stellt an die Spitze seiner Untersuchung den Satz, daß der Raum eine Zahlenmannigfaltigkeit sei, daß also die Punkte des Raumes durch Koordinaten bestimmt0werde 11 können. Sodann fragt er, welche Eigenschaften dieser Zahlen- 1 Bei dieser Gelegenheit ist nachzut'ragen, daß, wenn man das archi¬ medische Postulat fortläßt, die Annahme einer unbegrenzten offenen Geraden mit der Annahme einer Winkelsumme im Dreieck, die größer als zwei Rechte ist, verträglich wird. Das war zu vermuten, da die von Saccheri (§ n —17), Lambert (§ 18—22) und Legendre (§ 27—28) gegebenen Widerlegungen der Hypothese des stumpfen Winkels sämt¬ lich das archimedische Postulat benützten. Dehn hat die Frage im an¬ gegebenen Sinn entschieden durch Konstruktion einer nichtarchimedi¬ schen Geometrie, die er „Nicht-Legendresche“ Geometrie nennt. Vgl. § 14. 2 Angeführt von F. Klein, Math. Ann. 6 (1873), S. 114 und von H. Weyl, Raum, Zeit und Materie (Berlin 1918), S. 87. 8 Lie, Theorie der Transformationsgruppen III (Leipzig 1893)» S. 394-