Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    Riemann und Helmholtz 105 mannigfaltigkeit zugeschrieben werden müssen, damit in ihr die euklidische oder eine ähnliche Geometrie gelte. Die Beant¬ wortung dieser Frage ist offenbar eine rein analytische Auf¬ gabe, die für sich allein gelöst werden kann. Allerdings tritt bei Riemann die wahre Bedeutung des Satzes, daß der Raum eine Zahlenmannigfaltigkeit sei, nicht hervor. Riemann sucht diesen Satz zu beweisen, aber sein Beweis kann nicht als stichhaltig gelten. Will man wirklich be¬ weisen, daß der Raum eine Zahlenmannigfaltigkeit ist, so muß man vorher unzweifelhaft eine nicht geringe Anzahl von Axio¬ men aufstellen1 und dessen scheint sich Riemann nicht be¬ wußt gewesen zu sein . . . Die Geometrie der Zahlenmannigfaltigkeit begründet Rie¬ mann auf den Begriff des Bogenelementes, aus dem sich durch Integration der Begriff der Länge einer endlichen Linie ergibt. Er verlangt, daß das Quadrat des Bogenelementes eine ganze homogene Funktion zweiten Grades von den Differentialen der Koordinaten sei ds2 = ! CL ij dXidXj , in dem er u. a. noch die Forderung hinzufügt, daß sich jede Linie beliebig ohne Änderung ihrer Länge bewegen könne, ge¬ langt er zu dem Ergebnis, daß außer der euklidischen noch zwei andere Geometrien möglich seien [die hyperbolische und die sphärisch-elliptische] . . .“ § 93. Helmholtz2 griff die Untersuchungen Riemanns 1 Vgl. § 75, letzte Anmerkung. 2 „Über die tatsächlichen Grundlagen der Geometrie“. Heidelberg, Verhandl. d. naturw.-med. Vereins, Bd. IV, S. 197—202 (1868); Bd. V, S. 31—32 (1869). — Wissenschaftliche Abhandlungen von H. Helm¬ holtz, Bd. II, S. 610—617. Leipzig 1883. Sie wurde von J. Hoüel ins Französische übersetzt und in den M6moires de la Societe des Sciences Phys. et Nat. de Bordeaux (t. V, 1868) veröffentlicht und auch zusammen mit den „Ltudes geomütriques“ von Lobatschefskij und der „Correspondance de Gauß et de Schumacher“. Paris 1895, Hermann. „Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen“'. Gött.