Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    zu erreichen. Der Beweis des Proclus beruht auf folgendem Satz, den er als selbstverständlich annimmt. Der Abstand zwischen zwei auf zwei einander schneidenden Ge¬ raden gelegenen Punkten kann beliebig groß gemacht werden, wenn man die beiden Geraden hinreichend verlängert.1 Hieraus leitet er den Hilfssatz ab: Eine Gerade, die eine von zwei Parallelen trifft, trifft notwendig auch die andere. Proclus schließt so: Seien (Fig. 2) AB, CD zwei Parallele und EG eine Transversale, die in F die erste trifft. Der Ab¬ stand eines veränderlichen Punktes auf dem Strahl FG von der Geraden AB wächst über alle Grenzen, wenn der Punkt sich unbegrenzt von ^entfernt; ® und da der Abstand G von zwei Parallelen endlich ist, so wird die C -——————...-■ ^ Gerade EG die Gerade CD Flg‘ 2‘ notwendig treffen müssen. Proclus führte also die Annahme ein, daß der Abstand von zwei Parallelen endlich bleibt, eine Annahme, aus der logisch die des Euklid folgt. § 4. Daß das Postulat des Euklid Gegenstand von Dis¬ kussionen und Untersuchungen bei den Griechen war, ergibt sich auch aus der folgenden widersinnigen Betrachtung, mit der man, nach Angabe des Proclus [p. 369], zu beweisen vorgab, daß zwei von einer dritten geschnittene Gerade sich nicht treffen, auch wenn die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner ist als zwei rechte Winkel. Sei (Fig. 3) AC eine Transversale der beiden Geraden AB, CD und E der Mittelpunkt von A C. Auf derjenigen Seite von 1 Dieser als selbstverständlich angenommene Satz wird von Proclus mit der Autorität des Aristoteles gestützt. Vgl. De Coelo, I, 5. Ein strenger Beweis des genannten Satzes wurde vom Pater G-. Saecheri gegeben. Vgl. Kap. II, § 11,
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