Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$mann-Helm holtzsche Problem in bestimmter Weise gefaßt und gelöst hat. Die Fassung lautet:1 Es sollen solche Eigenschaften gefunden werden, die sowohl der euklidischen als den beiden Scharen von nichteuklidischen Bewegungen zu kommen und durch die diese drei Scharen vor allen andern mög¬ lichen Scharen von Bewegungen ausgezeichnet sind. F. Klein, der seinen Freund Lie veranlaßt hatte, seine große Schöpfung, die Theorie der Transformationsgruppen, zur Ergründung des Raumproblems in diesem Sinne zu ver¬ wenden, hat im ,,Evanston Colloquium“ die Frucht die¬ ser Arbeit mit folgenden Worten gekennzeichnet.3 ,,Ich gehe jetzt über zu dem Werk von Lie. Zunächst ein¬ mal die Ergebnisse. Lie hat die von Helmholtz bestätigt mit der einzigen Ausnahme, daß im Raum von drei Dimen¬ sionen das Monodromieaxiom unnötig ist, daß vielmehr die zu betrachtenden (Transformations-)Gruppen vollständig bestimmt sind durch die übrigen Axiome. Was die Beweise betrifft, so hat indessen Lie gezeigt, daß die Betrachtungen von Helmholtz ergänzt werden müssen. Die Sache ist die: Hält man einen Punkt des Raumes fest, so reduziert sich un¬ sere Gq [die sechsgliedrige, d. h. sechs willkürliche Parameter enthaltende Gruppe aller Bewegungen] auf eine G3 [dreiglied¬ rige Gruppe der Drehungen um einen Punkt]. Nun untersucht Helmholtz, wie die von dem festen Punkt ausgehenden Linien¬ elemente bei dieser Gs transformiert werden. Zu diesem Zweck schreibt er die Formeln an dx\ = andx1 -j- a12dx2 -f a13dxs, dx2 = (i2| dx^ T #22 dx2 T #23 dXg , dxs ~ #31 dx^ T ai2dx2 T #33#^ 3* 'Lie,a. a. O. S. 39/* s Klein, The Evanston Colloquium (28. Aug.— 9. Sept. 1893). Lon¬ don 1894, p. 89.$