Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    Beweisversuch des Proclus A C, wo die Summe der inneren Winkel kleiner ist als zwei Rechte, werden auf AB und CD die Abschnitte AF und CG gleich AEabgetragen. Die beiden Geraden AB und CD können sich nicht treffen zwischen den Punkten AF und CG, weil im Dreieck jede Seite kleiner ist als die Summe der beiden anderen. Nachdem man dann die Punkte F, G verbunden hat, wieder¬ hole man von FG an die vorhergehende Konstruktion, d. h. man bestimme auf AB und CD die beiden Abschnitte FF und GL, beide gleich der Hälfte von FG. Die beiden Geraden AB, CD werden sich nicht zwischen den Punkten F, K und G, L treffen können. Und da dieses Ver¬ fahren unbeschränkt wiederholt werden kann, wollte man schlie¬ ßen, daß die beiden Geraden AB, CD sich niemals treffen. Der Grundfehler der Betrach¬ tung beruht auf dem Gebrauch des Unendlichen, da doch die Abschnitte AF, FK durch fortwährende Abnahme nach Null streben könnten, während ihre Summe endlich ist. Der Er¬ finder dieses Widerspruchs hat von demselben Grundsatz Ge¬ brauch gemacht, mit dem Zeno [495—435 v. Chr.] zu be¬ weisen behauptete, daß Achilles die Schildkröte nicht er¬ reichen würde, auch wenn er sich mit doppelt so großer Ge¬ schwindigkeit als sie bewegte. Dies ist unter anderer Form Pro clus bekannt [p. 369—370], wenn er nämlich sagt, daß so nur bewiesen wird, daß man mit dem angegebenen Verfahren den Schnittpunkt nicht erreichen [bestimmen: öpi£eiv] kann, nicht, daß er nicht vorhanden ist. Pro clus bemerkt überdies, daß, „da die Summe von zwei Winkeln im Dreieck kleiner ist als zwei Rechte [Euklid. XVH], es Gerade gibt, die von einer dritten geschnitten sich auf der Seite treffen, wo die Summe der inneren Winkel kleiner ist als
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