Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, die größer ist als Eins. Von dieser sogenannten Fuchss chen Thetareihe gilt, daß sie unbedingt und gleichmäßig konvergiert für alle Werte von r|, mit Ausnahme derjenigen, die auf dem Kreise (3') der rpEbene gelegen sind, und derjenigen, in denen eine der rationalen Funktionen dS^) äy] unendlich wird. Von den beiden Konvergenzbeweisen, die Poincare geliefert hat, ist für uns der zweite besonders be¬ merkenswert, weil er sich durchaus auf die Metrik der hyper¬ bolischen Ebene stützt. Es kommt alles darauf an, die Kon¬ vergenz der Reihe k = i *Sk(x\) dr| I zu beweisen. Dazu denken wir uns in der hyperbolischen Ebene um den Mittelpunkt r| = o mit den Halbmessern p, 2 p, 3 p, . . . eine Schar konzentrischer Kreise Clf C2, C3, ... be¬ schrieben und bezeichnen mit £4 dm Summe der Glieder der Reihe (12), für die *S^(r)) innerhalb des von den Kreisen Ch_1 und Ch begrenzten Ringgebietes liegt. Dann ergibt sich, daß Uh < K~h(n — \)q ist, wo K eine von h unabhängige Konstante bezeichnet, und daraus folgt, daß die Reihe (12) wie eine geometrische Reihe konvergiert, und zwar ist die Konvergenz um so stärker, je größer der Flächeninhalt des in der hyperbolischen Ebene ge¬ legenen Fundamentalbereichs ist. Daraus folgt weiter, daß die Reihe”(10) in jedem endlichen Bereiche der hyperbolischen Ebene eine Funktion vom Charakter einer rationalen darstellt; die Gesamtheit der unendlich fernen Punkte der hyperbolischen Ebene, d. h. die Gesamtheit der rj-Werte, deren absoluter Be¬ trag gleich Eins ist, bildet eine natürliche Grenze für diese$