Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Académie dans les séances des 22 mai et 29 mai 1837.).

  • Augustin-Louis Cauchy
Date:
[1837]
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Credit: Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Académie dans les séances des 22 mai et 29 mai 1837.). Source: Wellcome Collection.

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    cette équation, que l’on pourra présenter sous Tune quelconque des formes k — f{x) = i, k-\- f{x) = i, en donnant au paramètre i la valeur k, offrira, sous Tune de ces formes, au moins une racine développable suivant les puissances ascendantes de i. On pourra d’ailleurs, dans l’hypothèse admise, développer suivant les puis- sances descendantes de k les racines de chacune des équations auxiliaires k — f(x) = o, k-{-f{x) = o. 3® Théorème. Les mêmes choses étant admises que dans le théorème précédent, si l’on forme divers groupes avec les racines de l’équation f{x) = O , présentée d’abord sous la forme k = puis sous la forme k +f{x) — i, en composant chaque groupe des racines qu’il est indispensable d’ajouter entre elles pour obtenir une somme développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de i] deux racines distinctes ne pourront en général se trouver réunies dans le premier cas, sans être séparées dans le second, ni réunies dans le second cas , sans être séparées dans le premier. Corollaire. Après avoir développé toutes les racines de chacune des équations ^ — /(^) = L ^ > suivant les puissances ascendantes de /, et calculé les sommes formées par l’addition des développements qu’il est nécessaire d’ajouter entre eux pour obtenir des séries convergentes; il suffira, pour obtenir chaque racine, de réunir entre elles plusieurs de ces sommes, prises les unes avec le signe +, les autres avec le signe —. Exemple. Si, l’équation proposée ayant toutes ses racines réelles, on suppose la constante k réelle et positive, les développements correspon- dants aux racines réelles des équations auxiliaires seront convergents , ainsi que la somme des développements correspondants à deux racines imaginaires conjugées. Cela posé, si l’on nomme a,b,c,d,..., /, g-, h,
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